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[...] -mit einer dritten ungleiche Winkel machen, und 2) dass sich umgekehrt zwey gerade Linien, wenn sie unglei che Winkel machen, mothwendig schneiden; nicht blos [...]
[...] Zwey Winkel an einander gesetzt füllen wieder um einen Winkel, und zwar einen grössern, ganz aus. Denn da die gerade Linie, die ihre in einander geleg [...]
[...] Raum. Hieraus folgt, dass der ganze unbegrenzte Ebe men – Raum aus Winkeln zusammengesetzt werden kann. Er selbst nämlich ist ein Winkel, z. B. das Vierfache eines rechten Winkels. - [...]
[...] Kein Winkel ist innerhalb eines Parallelraums ent halten. Denn man setze so viele Parallelräume an ein ander, als man Winkel von der Grösse des gegebenen [...]
[...] zwey gerade Linien AE und DB sich schneiden, so machen sie mit einer dritten Linie AF in B und A ungleiche Winkel. Denn der Winkel DB F ist um den Raum DCE grösser, und um den Raum ABC klei ner, als der Winkel EAF. [...]
[...] Der eine Winkel könnte also dem andern nur dann gleich seyn, wenn DCE = ABC wäre. Nun ist aber DCE ein unbegrenzter, ABC ein begrenzter Raum. [...]
[...] Nun sey der Unterschied der Winkel = FDC so, dass [...]
[...] Parallellinien machen mit einer dritten, sie schnei denden, gleiche Winkel. Denn machten sie ungleiche Winkel, so würden sie nach dem zweyten obigen Satze nothwendig sich schneiden, und würden also nicht pa [...]
[...] Wenn man auch die Vergleichung der Winkel vermittelst - der zwischen ihren Schenken enthaltenen [...]
[...] 2) Nimmt Hr. Crelle an, dass die ganze unbe gränzte Ebene um die Spitze eines Winkels allemal ein Vielfaches des Winkels sey. Ich brauche wohl gegen diese Annahme nichts zu erinnern, da ihre Uni [...]
[...] Den ersten Grund für seine Anklage findet er in dem Ungenügenden in Euklids Ä des Winkels. Allerdings ist der Ausdruck, hier nicht so klar, als man allenfalls wünschen möchte; und obgleich selbst der Unkundigste wohl einsehen wird, [...]
[...] schneiden sich die Linien nie; 2) Wenn sich zwey Linien nie schneiden, aber durch eine dritte ge schnitten werden, so sind die äussern Winkel den innern gleich ; 5) Sind die äussern Winkel oben grösser als die innern, so schneiden sich die Linien [...]
[...] Hier ist wörtlich des Vfs. eigner Beweis. 2) „Die ser zweyte Satz folgt unmittelbar aus dem Satze des zureichenden Grundes. – Ein Winkel hängt von der gegenseitigen Lage seiner Schenkel Die Gleichheit oder Ungleichheit zweyer Winkel [...]
[...] gemeinschaftlich, so ist kein Grund da, warum die Gleichheit oder Ungleichheit der Winkel von et was anderm abhängen sollte, als von der Lage der [...]
[...] heit der äussern und der innern Winkel hängt also nur von der Lage der beyden geschnittenen Linien ab, weil die schneidende Linie der ge [...]
[...] ist, indem sie sich oben nicht schneiden und auch unten nicht schneiden, so ist kein Grund vorhan den, warum die äussern Winkel zu den innern oben ein andres Verhältniss haben sollten, als die äussern Winkel zu den innern unten haben u. s. w.“ [...]
[...] der ersten zugleich stehen und fallen. „Die Gleich heit oder Ungleichheit der äussern und der innern Winkel hängt nur von der Lage der geschnitte nen Linie ab.“ Auch das möchte gut seyn; aber wodurch lernen wir denn die Lage oder Ä [...]
[...] in die Behauptung einstimmen, dass dieses Raison nement weit mehr gegen sich hat, als die Eukli dische Definition des Winkels. Der Winkel liegt [...]
[...] ein Winkel grösser als ein andrer heisse, wann er das Doppelte eines andern sey u. s.w., ist so [...]
[...] annimmt, und nun mit vielen Worten die Gleich heit der Winkel anscheinend demonstrirt, geschieht offenbar nur, um das erwünschte Q. E. D. dar unterschreiben zu können. Eüklides war hierzu [...]
[...] noch scheinen Vergleichungen unter einander auch bey ihnen möglich, indem z. B. der doppelt so grosse Winkel, auch wenn man seine Schenkel un endlich verlängert denkt, einen doppelt so grossen VVinkelraum fasst, als der einfache Winkel u. s. w. [...]
[...] Beweise der Sätze, dass 1) wenn zwey Linien ein ander schneiden, die Summe der innern, an einer dritten Schneidenden gebildeten Winkel < 2 R., und dass 2) wenn diese Summe < 2 R, mothwen dig ein Schneiden. Statt findet. [...]
[...] nie den ganzen unendlichen Raum der Ebene, wor in sie sich befinden. Nimmt man dagegen einen VVinkelraum und fügt einen gleichen Winkel aber mals und abermals an einander, so werden bey wiederholter Zusammenfügung die 4 R erreicht [...]
[...] Ebene. Stellt man sich also einen bestimmten, auch noch so kleinen Winkel und einen bestimm ten Parallelraum vor, so ist allemal der Winkel raum grösser als der Parallelraum, weil es für je [...]
[...] Schon hierin ist etwas, was nicht ganz befriedigt; man wird es allerdings wohl anerkennen, dass auch ein äusserst kleiner Winkel dennoch einen VVinkelraum gebe, der einen jeden ansehnlichen Parallelraum übertrifft; aber gerade so leicht über [...]
[...] den befriedigen. Man könnte allerdings sagen, es sey bewiesen, dass dieser Parallelraum kleiner als jeder Winkel sey, und dass folglich die Winkel äume ECB und FDB um keine durch einen Win kelraum anzugebende Grösse verschieden wären, [...]
[...] also kein Winkel statt FDB gezeichnet werden könne, - dem das Prädicat der Gleichheit zu ECB mehr zukomme als ihm u. s. w. Aber da hier [...]
[...] Winkel machen, welchen die i heilungslinie durch B mit BC macht. u. s. w. Der gesuchte gleiche VVinke ergibt sich so, dass seine Colangente gleich [...]
[...] VVinke ergibt sich so, dass seine Colangente gleich ist der Summe der einzelnen Cotingenten aller 5 Winkel des Dreyecks. Dieses Gesetz, so wie alle folgenden, wird aus leichten tº go ouetrischen [...]
[...] chen Durchschnittspunct der 5 Linien entstehenden VVinkel gleich sind den Winkeln des Dreyecks, wenn jene Gleichheit der erwähnten Winkel. Statt findet. – Und so findet - Hr. Cr. noch mehrere merkwürdige und allgemeine Bestimmungen, die [...]
[...] entwickelten Formeln, welche die Summe und die Differenz zweyer Seiten beziehlich durch die der gegenüberstehenden Winkel und die dritte Seite finden lehren, bestimmt. Die Fehler, von deren Vermeidung hierbey die Rede ist, sind nur [...]
[...] -(oder ausserhalb) desselben liegenden Puncte nach den in Scheiteln desselben zu ziehen sind, in eben sº viele Dreyecke zerlegt. Die Winkel, welche diese Polaren Linien mit den Seiten des Vielecks nach der einen Richtung hin machen, mögen [...]
[...] kel immer = (m –2) tr seyn muss, für diese auch noch die vorstehende Bedingungsgleichung; die wirkliche Messung der Winkel kann nun auf dreyerley Art von jenen Bedingungen abweichen, indem entweder die Winkelsumme nicht=(m-2) Tr, [...]
[...] denken, dass es ohne Vergleich am natürlichsten sey, anzunehmen, dass an diesem Fehler im All gemeinen alle Winkel Antheil haben werden, da wir sie als mit gleicher Sorgfalt gemessen be trachten, und es ja nicht Fehler der Nachlässig [...]
[...] werden sollen. Nicht so schliesst Hr. Schiereck. Ihm zeigt die Ungleichheit der Summen der Lo garithmen von den Sinussen der Winkel a, 3 a2 . .. ; ß, , ß. . . . . an, „dass Ein Winkel der « und E ner der 3 so berichtigt werden muss, dass die [...]
[...] ner der 3 so berichtigt werden muss, dass die Aenderung in beyden gleich aber entgegen gesetzt werde, damit die Summe aller Winkel unverän dert bleibe.“ Warum von beyden nur Einer? Freylich ist diess das Einfachste und Bequemste, [...]
[...] etwas ganz Willkürliches. Hr. S. schliesst nun weiter recht sinnreich ungefähr so: Seyen a „ , 8,9 die zu berichtigenden Winkel und beziehungs weise die Berichtigungen + Öp, – ö p, so ändern sich die Logarithmen der Sinus dieser Winkel, [...]
[...] kel die wahrscheinlich richtigsten abzuleiten; son dern vielmehr diese: die Bedingungen anzugeben, unter denen man die beobachteten Winkel mit den wenigsten (2) und kleinsten Veränderungen [...]
[...] heit, ableitet, scheint daher Rec. sehr problema isch. Bey Triangulationen im Grossen, wo man jch nicht begnügen will, die Winkel durch ver vielfachte Messungen sowohl im Einzelnen, als Äuch, wo es angeht, oombinirt (z. B. im Obigem [...]
[...] log Const + log sº # (ß + 7) – q ] – log sin [ (6 + 7) + F 9. wo ß und y constante gegebene winkel sind, p aber die zu bestimmende, jedoch näherungsweise bekannte Grösse ist. Aendert man den wahren [...]
[...] welchem Falle aber ist ein Viereck ein Paralle logramm? Ant. 1) wenn die gegenüber befindlichen, nicht an einer Seite befindlichen Winkel einander leich sind. Denn etc. 2) wenn die gegenüber be Ä Seiten einander gleich sind. Denn etc. [...]
[...] sagt wurde. Gerade so, als wenn man sagte: ein Dreyeck ist in 3 Fällen gleichschenklich, 1. wenn es 2 gleiche Seiten hat; 2. wenn die Winkel an der Grundseite gleich sind; 5. wenn ein Perpen dikel, von der Spitze auf die Grundseite gefällt, [...]
[...] ben übergeht; es mangelt die Betrachtung der Fi guren mit auswärtsgehenden Winkeln und die Be stimmung der Summe ihrer äusseren Winkel u. s. w. Endlich will Rec. ut dem Verf. nicht über die von diesem gewählte Ordnung, in welcher die ein [...]
[...] und o durchschnitten werden, so sind die innern Gegenwinkeln und o zusammengenommen kleiner als 2 rechte Winkel – dadurch beweisen, dass man sich vorstellen soll, es werde der Winkel o auf der Linie MN nach n zu hingeschoben; da [...]
[...] durch komme der Durchschnittspunct m immer näher an n, endlich mit diesem zusammenfallend, und der Schenkel mo des verschobenen Winkels komme in die Lage nE (parallel mit om). Der ursprüngliche Winkel mon werde hier zum ein [...]
[...] komme in die Lage nE (parallel mit om). Der ursprüngliche Winkel mon werde hier zum ein schliessenden des Winkels n, sey folglich grössern, folglich betrügen die beyden Winkel n und o zu sammen weniger als 2 Rechte. In diesem Beweise [...]
[...] Verschieben nichts demonstrirt, ist klar, dass, wenn der Schenkcl mo in die Lage nE kommt, der ver schobene Winkel nicht ein in einschliessender, son dern in Beziehung auf den ursprünglichen VVin kel o ein äusserer Winkel wird, der (aber ver [...]
[...] ist, so, dass hätte geschlossen werden müssen, n und oseyen darum < 2 R, weil der verschobene Winkel ö mit dem Winkel n <2 R. sey. Da fer ner durch dieses Verschieben die 3 Durchschnitts [...]
[...] Am 1. des September. 215 1 832. GD Trigon ometrie. Logarithmend. trigonometrischen Linien der Winkel [...]
[...] Decimalstelle der Mantisse; vermittelst dieser Tafeln lässt sich, wie eben so wie vorhin nachgezeigt werden kann, der Winkel von 64°, 5o“ vermittelst seines Sinus bis zu der Genauigkeit einer Secunde, ein kleinerer Winkel mit einer grössern, ein grösserer [...]
[...] Sinus bis zu der Genauigkeit einer Secunde, ein kleinerer Winkel mit einer grössern, ein grösserer Winkel mit einer kleinern Genauigkeit berechnen; es lässt sich weiter der Winkel von 45° vermittelt seiner Tangente bis zu der Genauigkeit von # [...]
[...] seiner Tangente bis zu der Genauigkeit von # 9 ein jeder grösserer und kleinerer Winkel mit einer noch grössern Genauigkeit berechnen. Die Loga rithmen der Bogen, Sinus u. Tangenten der 72 ersten [...]
[...] Secunden sind von Secunde zu Secunde angegeben, wodurch manche Berechnungen, namentlich die Reduction der Winkel auf den Mittelpunct der Station erleichtert werden. Die trigonometrischen Linien der VVinkel sind zwar nur von Minute zu [...]
[...] j Cjimalmaasses des Winkels in Nonageº jajd umgekehrt;Sehnentafeln für den Halb [...]
[...] Die geraden Linien, welche der Punct so be schreibt, werden unendlich klein, und auch die Winkel, um welche er seine Richtung verändert, werden unendlich klein, so dass er nicht fortge he, ohne auch seine Richtung zu verändern; als [...]
[...] dann beschreibt der Punct eine krumme Linie. Die krumme Linie ist also eine stetige Verbin dung der geraden Linie und des Winkels; sie hat Länge, weil sie die gerade Linie, sie hat Form, weil sie den Winkel enthält; ohne gerade Linie ist [...]
[...] Länge, weil sie die gerade Linie, sie hat Form, weil sie den Winkel enthält; ohne gerade Linie ist aber keine Länge, ohne Winkel keine Form denk bar. Ist die krumme Linie eine solche Verbindung der geraden Linie und des Winkels, so muss sie sich [...]
[...] wird z. B. gefunden, dass der Quadrant des Krei ses die Verbindung einer geraden Linie mit einem rechten Winkel ist. * S. 288 wird dieser Ueber gang aus der gebrochenen Linie in die krumme noch besonders so beschrieben: ,,Die geraden Li [...]
[...] nien, welche der Punct in der Ebene beschreibt, seyen unendlich klein oder Elemente der geraden Linie, eben so seyen die Winkel, um welche der Punct jedesmal seine Richtung verändert, unend lich klein oder Elemente des VVinkels; der Punct [...]
[...] zu verändern, und er verändere seine Richtung nicht, ohne fortzugehen; alsdann verbinden sich die gerade Linie und der Winkel, stetig, und der Punct beschreibt eine krumme Linie.“ Nach diesen Auszügen, deren noch mehrere [...]
[...] jcher von der Krümmung handelt: Hier wird, S. 470 §., 24, der Krümmungswinkel definirt, als jer Winkel, den zwey unmittelbar auf einander folgende Tangenten machen, (also Krümmungs Vj = Eſement des Subtangenten-Winkels [...]
[...] Vj = Eſement des Subtangenten-Winkels negativ genommen = Element des Subnormalen Winkels). Soll nun, §. 251, bestimmt werden, ob eine krumme Linie einen Ä (punctum lossen: „Wird [...]
[...] der Krümmungs-Winkel auf der einen Seite der Curve, als positiv angesehen, so ist er auf der andern negativ. Da nun o den Uebergang vom [...]
[...] Ä der dritten Seite eines sphärischen Drey ecks, in welchem zwey Seiten unveränderlich, der von ihnen eingeschlossene Winkel aber variabel ist, durch die Aenderung dieses Winkels dar; die dritte # die Aenderung eines der beyden übrigen [...]
[...] # die Aenderung eines der beyden übrigen inkel durch die Aenderung eben jenes zÄ den constanten Seiten enthaltenen Winkels. VVenn und ö die beyden unveränderlichen Seiten, u en von ihnen eingeschlossenen VVinkel, d die dritte [...]
[...] In der Entwickelung der zweyten Reihe, welche die Veränderung v des der Seite p gegenüberlie gender Winkels 6 (den noch übrigen der Seite ö gegenüberliegenden Winkel nennt der Vérf. «) durch § ausdrückt, ist der Verf. nicht glücklicher. Er geht dabey von den Napier'schen Formeln für die halbe Summe und halbe Differenz der Winkel 6 und a aus, und findet, indem er 3+a=S, 8 – «=D, [...]
[...] beygefügt werden müssen. Ferner ist klar, dass der Vf: durch sein #x+#z nicht, wie er zweymal aus drücklich sagt, die Veränderung des Winkels 8, sondern in der Thatz– x, d.i. die Veränderung [...]
[...] es nun gar nicht zu begreifen, wie der Verf es unternehmen konnte, seine zweyte Reihe, die nach ihm die Veränderung des Winkels ſº ausdrückt, welches der Winkel am Sterne, und nicht am Ze mith ist, zur Berechnung der Verbesserung des [...]
[...] nommene Uebereinstimmung der ersten Glieder seiner Reihe der Soldnerschen, uneingedenk seiner zweyma ligen Versicherung, die Aenderung des Winkels 3ſº lIll [...]
[...] uns doch nichts hindern, uns einen Begriff davon zu machen; wir denken uns also diesen Unterschied als einen unendlich kleinen Winkel; dieser soll das Element des Winkels heissen u. s. w.“ § 59. „Die krumme Linie ist eine solche, in welche die un [...]
[...] fester begründet werde. „Lehrsatz. Die Grundlage des Dreyecks sind 1) seine drey Seiten; oder 2) zwey Seiten und der Winkel, den sie machen, oder 3) eine Seite und die beyden Winkel, welche die andern Seiten mit ihr machen.“ (Ueber das, was [...]
[...] durch, dass der Vf. den Begriff der leichen Lage, welche die Paralellinie haben sºll, Ä. setzt, dass jene ähnlich liegenden Winkel (innere und äussere Ä gleich sind. Hierauf be ruht auch der Beweis Ä Grund [...]
[...] ruht auch der Beweis Ä Grund satz des Euclides; der Yf. nämlich sagt: sind die gleichliegenden Winkel, unter welche zwey Li nien von einer dritten geschnitten werden, ungleich, so müssen jene Linien einander schneiden; denn [...]
[...] nien von einer dritten geschnitten werden, ungleich, so müssen jene Linien einander schneiden; denn vermöge jener Ungleichheit der Winkel ist die Lage der jen Linien verschieden; ist aber ihre Lage verschieden, so müssen sie diese Verschie [...]
[...] Lage der jen Linien verschieden; ist aber ihre Lage verschieden, so müssen sie diese Verschie denheit durch einen Winkel, den sie mit einander bilden, angeben, folglich einander schneiden. – Wir brauchen wohl nicht zu sagen, dass dieses [...]
[...] voj dem Abstande der Puncte und Linien handelt, der Satz vor: wenn ein Dreyeck zwey gleiche Sei ten hat, so hat es auch zwey gleiche Winkel die sen Seiten gegenüber. – – Wir sehen doch wirk lich nicht ein, warum wir vom Euclides abgehen [...]
[...] sung der Puncte der ersten Classe an, da die der übrigen auf die bisher bekannte und gewöhnliche Weise vorgenommen wurde. Die Winkel der Haupt dreyecke wurden nämlich nicht blos in Beziehung Ä.die Winkelsignale dieser Dreyecke selbst, son [...]
[...] messen. Wenn nämlich z. B. die vier Hauptpuncte A, B, C, D vor dem Instrumente lagen, deren ge genseitige Lage also durch drey Winkel bestimmt war, so maass er nicht drey, söndern, wo möglich, sechs Winkel, d. h. er maass die Winkel AB, AC, [...]
[...] Werthe von a', b und c'. Nach diesen Vorbereitungen folgt nun die Mit theilung des Messungs-Protokolls aller Winkel mit den nöthigen Bemerkungen bey jedem derselben, wodurch Ä zweyte Capitel geendigt wird. [...]
[...] aus seiner Messung dem Verf geschickt hatte, und an welche dieser sich anschliessen will. Diese Mit theilungen enthalten erstens 19 Winkel der nahe [...]
