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[...] bey Punkten kann weder von einer zugekehrten noch abgekehrten Lage die Rede ſeyn. Beſtimmter würde es heiſsen: daſs der neue zu conſtruirende Winkel die zwiſchen dem Scheitel des gegebenen Winkels und dem angenommenen Punkt liegende Linie zum [...]
[...] einen Winkel von der Gröſse des VWinkels A, ſo daſs [...]
[...] wird, ſo entſteht ein Triangel AKL von der Ä fenheit des Triangels ADE, d. h. hier ein gleich ſchenkliger Triangel, in welchem jeder Winkel an der Baſis kleiner als der Winkel an der Spitze iſt. [...]
[...] nien AC, BD von einer dritten AB ſo geſchnitten werden, daſs die beiden innern an einer Seite der ſchneidenden liegenden Winkel C4B, DB zuſam men kleiner ſind, als ein rechter Winkel, ſo werden die beiden Linien in einem Punkte E zuſammentref [...]
[...] riger Verlängerung in einem Punkte G treffen", und endlich dieſer bey der Demonſtration des oben gedach ten Theorems, die Winkel eines Triangels können nicht weniger als 2 R. betragen, angewendet. Der Beweis des Satzes: die Winkel eines Triangels be [...]
[...] ABC (fig. 12.) können beliebig viele andre Triangel ABF, ABH, ABK u. ſw., ſo errichtet werden, daſs 1) die Summe der Winkel eines jeden gleich iſt der Summe der Winkel des Triangels ABC, daſs 2) jeder der Winkel F, H, K u. ſ. w., die der Grund [...]
[...] telbar vorhergehende, und zwar in der Art, daſs 5) einer dieſer Winkel endlich kleiner wird, als jeder gegebene Winkel", aufgeſtellt, der 3te Fall deſſelben [...]
[...] der Winkel F, H, K u. ſ. w. kleiner, als irgend ein [...]
[...] gegebner Winkel X, ſo mache man N: X = OPV > CAB. Iſt dann N die Zahl der immer kleiner und kleiner werdenden Winkel F, H, K u. ſ.w., ſo muſs [...]
[...] bar FWinkel H= FAH hinweggenommen, ſo bleibt HAB gröſser, als der hinweggenommene Winkel. Ebenſo wird bewieſen, daſs wenn ferner von HAB, K hin [...]
[...] dann ihnen a priori, wie ers nennt, die nöthigen Verbeſſerungen zuſetzen lehrt, damit die Summe der drey Winkel 180 Graden + dem kleinen von der Flä che des Dreyecks herrührenden Ueberſchuſſe gleich werde. Indem in dieſer Hypotheſe das ganze Netz [...]
[...] merkung iſt äbrigens die vereinigte Wirkung einer ſolchen Excentricität auf alle drey Winkel eines Drey ecks gerade gleich Null. Unter den Aufgaben, de ren vollſtändige Auflöſung nun gegeben wird, iſt die [...]
[...] ecks gerade gleich Null. Unter den Aufgaben, de ren vollſtändige Auflöſung nun gegeben wird, iſt die erfte: die Winkel auf den Mittelpunkt einer Station zu reduciren. Was für Vorzüge die von den Vf. gewählte Auflöſungsart ſchon wegen ihrer analyti [...]
[...] Fälle, die ihm ſelbft vorkamen, oder die er voraus - beſtimmen konnte. – Wie in geneigten Ebenen beobachtete Winkel auf den Horizont zu reduciren ſind. Statt der bisherigen, im Verhältniſs der gerin gen Groſse der geſuchten Verbeſſerung ſehr beſchwer [...]
[...] wiſſen Falle einen Irrthum von 12 Secunden zulieſs. Unterſchied zwiſchen einem ſphäriſchen durch zwey Kreisbogen gebildeten Winkel, und einem geradli nichten, welchen die Sehnen dieſer zwey Bogen ma chen. Unterſchied zwiſchen der Seite eines geradli [...]
[...] telbar meſſen kann, ſondern bloſs zwey abgebroche ne Linien, die miteinander einen von 15o° wenig verſchiedenen Winkel machen. Reduction der Baſis auf die Meeresfläche. – Verbeſſerungen, welche der aſtronomiſche Theil der Gradmeſſung erfodert. Wie [...]
[...] ten und den eingeſchloſſenen Winkel kennt.» Ä LF [...]
[...] der unbekannten Winkel zu finden. - Der zweyte durchaus praktiſche Theil des Werks beſchäftigt ſich mit Rechnungsbeyſpielen, und Anwendung der in [...]
[...] am Werkzeuge abzuleſen. Dann kommen, mit Rück ſicht auf die verſchiedenen möglichen Fälle, numeri ſche Beyſpiele von Reduction der Winkel auf das Cen trum der Station und auf den Horizont .. von Wer wandlung ſphäriſcher Winkel in Chordenwinkel von [...]
[...] form den Vorzug. – Den Beſchluſs macht eine Rei he Tafeln. Die vier erſten dienen, theils einen be obachteten Winkel auf den Horizont , theils horizon tale und ſphäriſche Winkel auf Chordenwinkel, zu re ducircn. Tafel für die mittleren Refractionen, auf [...]
[...] auf die Äh Art nachgeholfen. So heiſst es z. B bey der Conftruction der Dreyecke: »Neigen ſich die beiden Linien um ungleiche Winkel von der rechtwinklichten Lage ab, und einander zu, ſo kom men ſie einander nicht halben Wegs entgegen, bil [...]
[...] Wunkel, und zwar diejenige den gröſsern, die ſich von der rechtwinklichten Lage abneigt, und diejeni ge den kleinern, die ſich um den gröſsern Winkel von der rechtwinklichten Lage abneigt; g unter fich einen Winkel, der zwar gleich iſt der Summe der [...]
[...] von der rechtwinklichten Lage abneigt; g unter fich einen Winkel, der zwar gleich iſt der Summe der zwey Winkel, um welche die Linien ſich von der recht winklichten Lage abneigten, deſſen Scheitel aber ungleich weit von den Ä der Grundlinie [...]
[...] entfernt iſt, und nicht rechtwinklicht über der Mitte derſelben liegt. Wenn alſo in einem Dreyecke der Scheitel eines Winkels rechtwinklicht über der Mitte der gegen überſtehenden Seite liegen ſoll, ſo müſ fen ſeine Schenkel gleich ſeyn und umgekehrt. Da [...]
[...] als dieſe ihr, ſo folgt, daſs ſie auch die gröſsere ſey, und da fie ferner mit der Grundlinie den kleinern Winkel bildet, ſo ſteht ſie dem gröſsern Winkel an derſelben gegen über. Die gröſsere Seite ſteht alſo dem gröſsern Winkel, und der gröſsere Winkel der [...]
[...] heit mit eingeſchloſſen und gerade kann nicht krumm? ieyn. An einen andern Orte 1agt der Vf: », vV ern die Schenkel eines Winkels ſo mit einander verb" den ſind, daſs ſie ſich weder gegº" ? nUch von ein ander neigen, ſo best dieſer Winkel ein rechter [...]
[...] eſchickt und die rechten Winkel als eine Gleichheit - [...]
[...] de Richtung behält, ſo nähert er ſich der Linie in der nämlichen Richtung, in der er ſich nahher von derſelben entfernt. Die Winkel auf der einen Seite der gegebenen Linie find alſo, einzeln genommen.» den Winkeln auf ihrer andern Seite gleich. Schei [...]
[...] ſechserley Art; 5) ſechsfaches, z. B. ſechs Endpun cte; 6) ſiebenfaches, nämlich 7 Theile der Linien; 7) achtfaches, als 8 Winkel, 8 paar Nebenwinkel, – unterſchieden werden können. In der Anmerk. erinnert er, daſs rnan auf ähnliche Art bey dvergi [...]
[...] der der einen gegenüber liegende Äj nur dann zur Auflöſung eines Dreyecks taugen ſollen, wenn die dem Winkel gegenüber liegende Seite die grö. ſsere von den beiden gegebenen iſt (§. 37.), iſt zu viel behauptet. – 5ee: Abföhn. Von der Entwicke [...]
[...] ecke ſich umgewendet auf einander legen laſſen, wel ches bey den Kugel - Dreyecken nicht angeht. Den bekannten Satz, daſs die Winkel eines ſphäriſchen Dreyecks gröſser als 2, aber kleiner als 6 Rechte ſind, leitet der Vf. aus der gleich Anfangs von ihm [...]
[...] gert, daſs ein ſphäriſches Dreyeck beſtimmt werde; 1) durch drey gegebene Seiten; 2) durch drey gege bene Winkel und 3) durch zwey Seiten und den ein geſchloſſenen Winkel, wo wenigſtens, wenn die zwey deutigen Fälle nicht mit zu den beſtimmten gezählt [...]
[...] deutigen Fälle nicht mit zu den beſtimmten gezählt werden ſollen, der Fall 4) durch eine Seite und zwey daran liegende Winkel, nicht übergangen wer den durfte. Bey der nun folgenden ſpeciellen Be trachtung der rechtwinkligen fphäriſchen Dreyecke [...]
[...] (§ 11 u. folgende) hat der Vf. auſser Acht gelaſſen, daſs ein rechtwinkliges ſphäriſches Breyeck auch einen oder fogar zwey ſtumpfe Winkel und Seiten, die mehr als 90“ betragen, Ä kann, daher ſei ne Beweiſe der bekannten Relationen zwiſchen den [...]
[...] die mehr als 90“ betragen, Ä kann, daher ſei ne Beweiſe der bekannten Relationen zwiſchen den goniometriſchen Functionen der Seiten und Winkel eines rechtwinkligen ſphäriſchen Dreyeckes unvoll ſtändig ſind. – 2eer Abſchn. Anwendung der bis [...]
[...] ſchiefwinkligen ſphäriſchen Dreyecks auf die Grundlinie gefallet, innerhalb des Dreyecks falle, wenn die beiden Winkel an der Grundlinie gleich artig ſind, auſserhalb, wenn ſie ungleichartig ſind. Er zeigt aber nicht, warum dieſs. Statt finde. Ta [...]
[...] ſeine Beweiſe geführt hat, obgleich er nachher die gefundenen Formeln auch für Dreyecke, worin grö sere Seiten und Winkel vorkonſmen, gebraucht. Uebrigens werden bey weitem nicht alle zur Auflö fung der ſphäriſchen Dreyecke dienenden Aufgaben [...]
[...] fung der ſphäriſchen Dreyecke dienenden Aufgaben abgehandelt, ſondern nur die beiden 1) wenn zwey Seiten und der eingeſchloſſene Winkel; 2) wenn alle drey Seiten gegeben ſind; darauf folgt ſogleich die Anwendung des Bisherigen auf ſphäriſche Aſtro [...]
[...] nomie und mathematiſche Geographie. Ueber den ſo ſehr wichtigen Gebrauch der ſogenannten Hülfs winkel zur bequemern Rechnung nach den Grund formeln ſagt Hr. H. gar nichts. Dagegen folgt S. 216 u. ff. eine ,, kurze und leichtfaſsliche Darſtellung [...]
[...] terricht ſtudieren wollen. Dieſe denken ſich unter den Stücken eines Dreyecks nichts anders, als die 3 Seiten und die 3 Winkel, die zum Weſen des Drey ecks gehören, ohne welche die Vorſtellung vom Dreyeck gar nicht ſtatt hat; nicht aber Linien, die [...]
[...] dem Sinusverſus eines Winkels die dritte Seite fin den; aber es wird Niemanden einfallen, den Sinv. als ein Stück des Dreyecks anzuſehen, deſſen dritte [...]
[...] als ein Stück des Dreyecks anzuſehen, deſſen dritte Seite geſucht wird, zumal wenn der Sinv. zu einem ſtumpfen Winkel gehörte. So läſst ſich aus zwey Seiten und dem Coſinus des eingeſchloſſenen Winkels (denn der Winkel ſelbſt braucht nicht gegeben zu [...]
[...] ültig ſey, ob man die trigonom. Gröſsen für einen leineren oder für einen gröſseren Halbmeſſer bey einem beſtimmten Winkel nimmt. Die Erklärung von Einführung negativer Coſinuſſe iſt durchaus nicht befriedigend, weil der Vf, das Zeichen – nur [...]
[...] befriedigend, weil der Vf, das Zeichen – nur als ein Ä vor den Coſinuſſen ſtumpfer Winkel anſieht - in der Folge aber dieſes Zeichen als wirkliches Subtrastionszeichen bev den Cofinuffen gebraucht. Die Localbemerkung (Anm. [...]
[...] rechten Hand poſitiv annehmen ſoll, wird den erſten Anfänger zu dem Wahne verleiten, der Coſinus ei nes Winkels, deſſen Schenkel aus einem Punkte von der Rechten gegen die Linke gezogen werden, ſey verneint. Daſs der Satz 1 = Cof?a + Sin.”a nichts [...]
[...] für den Anfänger allerdings von ſehr groſsem Nutzen iſt. Bey der Anwendung auf Beſtimmung der Seiten, Winkel Inhalt u. ſ. w. überhaupt in Bezug auf Auf gaben, die bey Ä vorkommen können, hät en wir gleiche Ausführlichkeit gewünſcht. Wir fin [...]
[...] den z. B. nicht die Aufgabe, aus den drey Perpen dikeln oder Höhen eines Dreyecks ſeine Seiten oder Winkel zu finden; ſo vermiſſen wir auch mehrere für praktiſche Vermeſſungen nützliche Aufgaben Dagegen hätten die Auflöſungen unreiner quadrati [...]
[...] Die durch die Winkelſpitzen BZO Linien find föÄ Ä Ä ÄÄ hineingehen und jeden der innern Winkel Ä in zwey Theile theilen. Von dieſen hat di Ä rentargeometrie, wie der Vf. bemerkt j e [...]
[...] drey. Sätze, für die Fälle, wo j geäeht Ä ÄVeder die gegenüber ſtehendj Ä d – Preyecks, oder die Winkel, durch deren Ä [...]
[...] noch mehrere gebe. Einen ähnlichen allgemeinen Satz giebt es für die Bedingung, die das Treffen der Scheitellinien in Einem Pancte für die Winkel feſt ſetzt, die von den Dreyecksſeiten und den Scheitel linien eingeſchloſſen werden. Hier muſs das Pro [...]
[...] duct von den Sinuſſen der winkel, die ſie auf der [...]
[...] chen, der Producte der Sinuffe der Winkel auf der andern gleich feyn. Der Vf. zeigt zugleich, wie ſich dieſer Satz aus dem vorigen herleiten läſst. Weiter [...]
[...] wickelungen für andere Bedingungen vorgenommen. Einer der intereſſanteſten und gewöhnlich nicht vor kommenden Fälle iſt der, wo man die drey Winkel, welche die Scheitellinien mit den Dreyecksſeiten machen, gleich groſs annimmt und woräus ſich der [...]
[...] ezogen werden; –+ Ä in Einem Puncte treffen ollen, fo muſs die Cotangente des mit den übri gen gleich groſs angenommenen Winkels ſo grofs ſ ie Summe des Cotangenten der Winkel des gegebenen Dreyecks." Ein anderer faſt eben [...]
[...] von der Gröſse ſey, daſs das Quadrat ſeiner Coſe cante gleich iſt der Summe der Quadrate der Co ſecanten der Winkel des gegebenen Dreyecks." Nun einige goniometriſche Formeln, auf welche die letztern Rechnungen führen. Auch für Vierecke [...]
[...] Chorde, Kreisabſchnitt und Kreiseinſchnitt nicht mit aufgenommen worden ſind, kann Rec. nicht einſehen. Ueber den Begriff des ebenen Winkels findet man, ma mentlich in neueren Zeiten, ſo viele von einander ab weichende Erklärungen, daſs ſich Rec. um ſo mehr [...]
[...] ſo entſteht ein ebener VVin kel,“ nicht haltbar iſt. Er ſetzt noch hinzu: „Ge wöhnlich erklärt man den Begriff Winkel als die ge genſeitige Neigung zweyer Linien, welche einen Punct mit einander gemein haben“. – Die erſte Erklärung [...]
[...] mit einander gemein haben“. – Die erſte Erklärung hat den Fehler, daſs danach jede gerade Linie auch als Winkel zu betrachten iſt. Denn geſetzt, man [...]
[...] alſo, wenn er das, was - „ - * Begriff von Neigung ausdrücken wollen, mit in die Begriffsbeſtimmung von ebenem Winkel hereinzieht, ſagen: Unter einem ebenen geradliniegten VVinkel ver ſteht man die Verbindung zweyer, in einem Punctº [...]
[...] dieſer Definition müſste man aber nothwendig den bisher üblichen Sprachgebrauch verlaſſen, nach Yel chem man Winkel von 180°, 360° aufführt. Man könnte Winkel im engeren und Winkel im weite ren Sinne unterſcheiden, und unter - [...]
[...] könnte Winkel im engeren und Winkel im weite ren Sinne unterſcheiden, und unter - lung jene Winkel bringen, indem man ſagte, daſs darunter ſolche VVinkel zu verſtehen ſeyen, wo ent weder der eine Schenkel in des anderen Verlängerung [...]
[...] kommt. Eine vorzügliche Einrichtung iſt es, daſs man durch Umſchlagen des Fernrohrs eine doppelte Meſ ſung des Winkels erhält, wodurch offenbar eine ge nauere Beſtimmung des Winkels gewonnen wird. Auch der Nivellirapparat und der Meſstiſch ſind gut con [...]
[...] unktgezogene lothrechte Linie eben an, mit der Ä des Dächelchens, auf der er aufſteht, einen Winkel zu machen, der auf der abwärts fallenden Seite über 90° hinaus fällt. Der Winkel, den in dieſem Augenblick die lothrechte Linie mit der ſchie [...]
[...] mit dieſem Druck verbundene Reibung überwinden, fo muſs die Richtungslinie des Drucks mit dem Dä chelchen, durch das fic durchgeht, einen Winkel von 90° machen, ſo daſs er bey der mindeſten Ver gröſserung ſchon gröſser als 90° wird. Die ge [...]
[...] (nach jeder Richtung des Schubes) als parallel be trachtet. Der durch Verſuche gefundené Reibungs winkel, welcher die Neigung der Dächelchen be ſtimmt, iſt nämlich als die mittlere von ſämmtlichen [...]
[...] ſten Kraft, wenn ihre Richtung derjenigen parallel genommen wird, welche den gröſseren Neigungs winkel macht. Ein abgleitender Körper wird auch durch die kleinſtmögliche Kraft in je erhalten, wenn man ihr die zuerſt erwähnte Richtung nach [...]
[...] Aufwärts iſt zur Ueberwindung des geſammten Wi derſtandes, wenn die ſchiefe Ebene mit der horizon“ talen einen Winkel von 17“ macht, wo alſo die aufwärts liegende Dachfläche unter einem Winkel von 34" ſteigt, bey gehöriger Richtung eine Kraft [...]
[...] Ä Üeberjindung des Widerſtandes (= 0571 . Q) gegen den Umſturz geſchützt zu ſey": Bey Keilen muſs mit der horizontalen nach der gewöhnlichen zwiſchen zwe ſchiefen Ebenen, wie die Gewölb Darſtellung einen Winkel = = = 17° machen, nach ſteine ſind, fällt jener Fall, unter welchem der Um dem Vf. macht die nach ihm erfoderliche Kraft ſturz beym, freyen Stande auf einer ſchiefen Ebene 6 o,559. Q) mit der horizont. einen Winkel = 34“. ſtatt des Gleitens erfolgen müſste, ganz weg - und [...]
[...] nöthigt, die Contreſcarpe herunter zu werfen, um Breſche ſchieſsen zu können. – 11) Von dem aus ſ Ä Winkel des bedeckten Weges vor dem avelin darf der Feind die Bollwerksfacen nicht ein ſchieſsen können. – 12) Ein [...]
[...] en des Reduits im Ravelin ein zu ſchräges Feuer nach der Breſche des Bollwerks geben. 2) Daſs man nur Winkel, die über 1oo” halten, auf dieſe Weiſe befeſtigen kann, damit die vorſpringenden Winkel 60° bleiben, weil der avnehmende Winkel in allen Viel [...]
[...] andere, nur 36 Fuſs von der Contreſcarpe aber den Kamm des bedeckten Weges. Den vorſpringenden Winkel deſſelben mit den des Reduits giebt die an dere Face des letztern. Den Kamm des Waffenplatzes bekommt man durch einen Kreis von 75 Fuſs aus der [...]
[...] pitzen Bollwerken wird eine Lunette vor jedes ge legt; 165 Toiſen iſt die Entfernung ihrer vorſprin Ä Winkel von dem des bedeckten Weges vor em Ravelin. – In Hinſicht des Defilements, von dem die Grabenbreite des Ravelins und der bedeckte [...]
[...] ſenkrechte für die Contreſcarpe errichtet und eine Linie von der Bruſtwehrkrone des Raveinjuj ge?9gen, deren Winkel mit der horizontalen nicht [...]
[...] 165 Toiſen gelegt, deren Radius auf die beiden an ſtoſsenden Facen der Neben- Raveline 12 Fuſs hinter dem vorſpringenden Winkel trifft. Die eben be merkten Radien geben den Kamm ihres bedeckten Weges, von dem der äuſsere und innere Graben [...]
[...] # m von dern Ä beſtrichen werden zu Ünnen», muſs der Graben der Lunette gegen den aus ſpringenden Winkel tiefer werden. Weil ſich jÄ urch aber „nothwendig hier das Waſſer ſammelt, wird die 6 Fuſs hohe unterirdiſche Verbindungsgal [...]
[...] einer Seite 9 u Sinus des gegenüberſtehenden in (d I Winkels B, oder Ä= -- ſeyn. Wie hier der [...]
[...] und tang . .“ = tang . . . VC I – c” Sin? P ) und dann = p' + ...“ zu nehmen braucht. Hieran knü pfen ſich Regeln, wie groſs man den Winkel « nehmen muſs, damit die von “ abhangende Function [...]
[...] findet man leicht die Werthe des Winkels, wobey das Integral desjenigen Werthes erhält, den es für den Winkel P' hatte, wird aber in [...]
[...] der Winkel d ſehr klein, ſo ift immer näher unſer Integral = G , folglich wenn n eine ſehr groſse Zahl iſt und P“ den Werth des Winkels, wo [...]
[...] von P und iſt, ſo heiſst das alſo, wenn man zwey Bogen der Ellipſe hat, welche den Winkeln - und - angehören, fö laſst ſich der Winkel “ angeben, für welche der Bogen der Ellipſe gleich der §Ä je ner – c” Sim u Sin P Sin - Ä [...]
[...] vermittelft eines Perpendikels aus dem Mittelpunkte abgeſchnittenen Stückes beträgt. Nimmt man nämlich den Winkel p (der auch x vermittelſt der Gleichung [...]
